<1670년 디오판토스의 '아리스메티카'에 중간 밑에 OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT라고 적혀있는 부분이 페르마의 마지막 정리에 관한 주석이다.식이 아닌 글로 나와있는 이 주석에는 "임의의 세제곱 수는 다른 두 세제곱수의 합으로 표현될 수 없다. 임의의 네제곱수 역시 다른 두 네제곱수의 합으로 표현될 수 없다. 일반적으로 3이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다. 나는 이것을 경이로운 방법으로 증명하였으나, 책의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다."라고 라틴어로 적혀있다.>
1.페르마의 마지막 정리가 뭐에영?
페르마의 마지막정리란 n이 3이상일 때 X^n+Y^n = Z^n을 만족하는 수는 존재하지 않음을 뜻한다.
1637년 자신의 저서인 '아리스메티카'에서 페르마는 n이 3일 때 뿐만 아니라 4일때도 이러한 수가 존재하지 않으며,더 나아가 모든 수일 때 이 방정식이 성립하지 않는 다고 말했는데 골때리는게 지가 이것에 대한 증명을 경이로운 방법으로 증명했는데 여백이 부족해서 다 못실었다고 한다.
그런데 이를 마냥 개놈이라고 할 수는없는게, n=4일 때 왜 이 공식이 성립하는지에 대해서 자세하게 증명을 해 놓았기 때문이다.
그런데 n=4일 때를 증명 해 놓으면 지수의 법칙에 의해서 ,4,6,8,10..등등의 짝수와 9,15,21등의 소수를 제외한 홀수등은 자동으로 증명이 되므로 결국엔 3,5,7,11 등등 소수에 관해서 이 법칙이 성립함을 증명하면 끝난다.
페르마가 추론을 적은 1637년 부터 200년동안 3,5,7 소수의 경우 이 법칙이 성립함을 수학자들이 증명하였고 1839년에는 소피제르맹이라는 여류수학자가 100이하의 소수에 대해서 이 법칙이 성립함을 증명하였다.
이후 에른스트 쿰머의 이론을 발전시켜 컴퓨터를 작업을 통해 400만 이하의 모든 정수에 대해 이 정리가 성립한다는 것을 알아냈다.
하지만 시벌 몇백만 몇천만 몇억 이하수에서 증명됨을 보이는 게 무슨 소용인가..이러한 방법으로는 모든 정수에 대해서 성립한다는 것을 보일 수가 없기 때문이다.
<부유한 집안에서 태어나 복스럽게 생긴 페르마.이녀석이 남긴 한 마디가 300년이상 수학자들을 괴롭힌다.>
2.페르마는 뭐하는 놈이에여?
페르마는 부유한 피혁상 아들로 태어나서 법학을 공부하여 변호사를 거쳐 청원의원을 하였고,나중에는 지방의회의 칙선의원이 되어서 죽을 때 까지 법을 끼고 산 사람이다.
한마디로 본래 직업은 따로 있고 수학은 그저 취미로 한 아마추어 수학자이다.
직업으로 수학을 한 게 아니라 아마추어인데 여러방면에서 획기적인 업적을 남겨서 아이러니하게도 아마추어이면서 17세기 최고의 수학자이기도 하다.
이새끼는 자신의 정리를 데카르트나 메르센이라는 당시 수학잡지에 '통보'하였고 그 정리에 대한 증명은 죽을 때 까지 내놓지를 않았고 죽은 후에도 대부분 내놓지 않았다.
수학자라면 비난을 받았겠지만 그냥 취미로 수학을 하는 아마추어 수학자일 뿐이었으므로 이 오만한 행위가 용인된듯.
그러니까 "야 나 이런 거 발견했어.근데 증명은 니네들이 해"라고 한 거나 마찬가지였다.
그래서 수학자들은 페르마가 메르센같은데에 내놓은 정리들을 증명하느라 골머리를 앓았으며,결과적으로 이들을 풀음으로써 정수론을 비롯한 여러 수학이론 발전에 획기적인 영향을 끼쳤다.
<옛날 수학잡지의 모습.답도 안 알려주면서 수학 수수께끼를 내며 흐믓해하는 페르마의 표정이 선하다.>
페르마가 정리만 쓴 문제들은
1.소수수열의 추측(페르마 소수)
2.페르마의 대정리(np-n의 정리)
3.4n+1형 소수의 관한 제곱수의 합의 정리
4.n=2의 디오판토스 방정식의 해답의 정리
5.페르마의 마지막 정리라고 불리는 아리스메티카의 주석
등등이 있었다.
1번~4번까지는 페르마가 죽은 이후에 상금을 붙여서 대부분 증명이 되었지만 5번은 이후 300년동안 증명을 한 사람이 한명도 나타나지 않았다.
하지만 4번문제까지 증명을 하면서 수학 정수이론은 많은 발전을 하게 되었다.
<몫의 미분법의 증명과정.문과도 이제 이딴걸 배운다니..몫의 미분법은 안배우나?모르겠다 문과가 아니라서>
4.아 페르마는 법학을 한 아마추어 수학자이군요! 근데 이 분이 한 업적이 뭐 있나요?
<1>미적분학
연속곡선에 접선을 긋는 방법을 '극값의 문제'로 유도하였다.
사실상 '미적분'에 관한 개념으로 이는 미적분을 창시한 뉴턴이나 라이프니츠보다 10년을 앞선 것이다.
<2>물리학
위의 극값의 문제를 통하여 '최단시간의 원리'와 '빛의 굴절,반사의 법칙'을 유도하였다.
이를 통해 물리학과 역학에 엄청난 영향을 끼쳤다.
<3>기하학
해석기하학의 창시자 데카르트와 더불어 3차원 해석기하학을 창시하였다.(데카르트는 2차원 해석기하학을 만들었다.)
이는 좌표기하학이라고도 한다.
<4>확률론,정수론
파스칼과 더불어 확률의 수학적 창시자로 일컫는다.또한 근대의 정수론 창시자로 일컫는다.
이러한 엄청난 업적들을 쌓으니까 페르마새끼 증명 안해놓고 사기치는 라고 함부로 확정지어 말하는 사람이 없던 것이다.대단한 새끼긴 하네 거 참.
5.페르마의 마지막 정리는 뭐 하다가 튀어나온 건 가요?
페르마의 마지막 정리는 사실 피타고라스의 수에서 디오판토스 방정식으로 넘어가고,디오판토스 방정식을 푸는 과정에서 페르마가 의문을 던진 것으로,제곱이 세제곱이상일 때 만족하는 정수가 있느냐에 대한 의문으로 나온 것이다.
피타고라스의 수는 우리가 잘 알듯이 a=3,b=4,c=5 , a=5,b=12,c=13등으로 무한히 많다는 것이 이미 증명되었다.
디오판토스 방정식은 예를 들면 다음과 같다
이를 만족하는 x와 y가 무엇이 있느냐 하는 문제인 것이다.
디오판토스 방정식은 이미 기원전 5세기에 유클리드 호제법에 의해서 풀 수 있음을 보였다.(유클리드 호제법은 2개의 자연수의 최대공약수를 구하는 알고리즘의 한 방법이다.)
근데 아리스메디카의 디오판토스 방정식을 가만히 쳐다보던 페르마 십가 n이 3이상일 때 성립하는 숫자가 있을까라고 생각을 하다가 의문을 던진것을 1621년에 클라우드 가스파르 바세 드 메지리아가 새롭게 편찬하여 이 내용을 실었다.
그 이후 300년 이상을 수학자를 괴롭힌 것이다.
<여성 수학자인 소피제르맹.쌍커풀보소>
5.이거 어떻게 풀었음?
<여류 수학자 소피제르맹의 제한적 증명>
이후 소피 제르맹이나 쿰머에 의해서 몇 이하의 자연수에 대해서 이 공식이 성립함을 보였고 이후 컴퓨터에 의해서 1978년 세뮤얼 바그스타드가 125,000이하의 소수에 대해서 페르마의 정리가 성립됨을 보였다.하지만 모든 자연수에 대해서 성립함을 보이는 건 너무 어려운 일이었다.
<모델 추측>
그 와중에 루이 모델이 n이 소수일 경우에 n이 아무리 큰 수일지라도 페르마의 정리가 성립할 것이다라는 추측을 내놓았다.이를 모델 추측이라고 하는데 1983년에 팔팅스에 의해서 증명되어 팔팅스 정리라고 불리게 된다.
<타원방정식의 연결>
1984년 드디어 페르마를 풀기위한 획기적인 방법이 발견되는데,게르하르트 프레이가 모듈성 정리를 증명하면 페르마의 정리를 역시 증명 가능하다는 연쇄효과 방식의 증명을 제기하였다.
이는 페르마의 마지막 정리를 타원곡선 형태로 변경할 수 있음을 의미하는데,
x^n + y^n = z^n 는
y2 = x (x- a^p)(x + b^p)
로 변경할 수 있다.
그런데 문제는 이 방정식은 원래 타원방정식인데 정상적인 모듈형태로 안 나온다는 게 문제이다.
체상의 벡터공간을 확장한 모듈에 관한 이야기는 너무 복잡하므로 생략하기로 한다.
<시무라 고로>
<다니야마-시무라의 추론>
일본의 다니야마 유타카와 시무라 고로는 모든 타원방정식은 적당한 형태의 모듈로 바뀌며 그 역 또한 성립한다는 다니야마-시무라 추론을 제기한다.
자세한건 모르겠지만 여튼 간에 일본새끼들이 제기한 추론이 참이라면, '페르마의 방정식을 변환한 타원 방정식' 역시 모듈로 변환되어야 하는데, 그것이 위해 말했드시 정상적인 모듈 형태로 나오지 않아 불가능하다는 것은 페르마의 방정식에 정수해가 존재하지 않는 다는 의미가 되므로 결국 연쇄작용에 의해 페르마의 정리가 참이라는 결론을 얻게 된다.
<페르마의 방정식을 타원방정식으로 변환 가능성>
그러면 다시 타원방정식 얘기로 돌아가서,과연 페르마의 방정식을 타원방정식으로 변환할 수 있는지 여부를 증명하여야 한다.
하지만 처음 문제를 제기한 게르하르트 프레이는 이를 엄밀하게 증명하지 못한다.
장피에르 세르가 이 문제를 '타원추측'이라고 명명하고, 이후에 1986년 켄 리베트가 이를 증명한다.
하지만 마지막 단계가 남았다.
<모든 타원 방정식은 특정한 모듈을 보인다.>
위에서 타원방정식이 특정한 모듈형태로 바뀐다고 말했다.
그럼 타원방정식은 그에 대응하는 특정한 모듈을 가지고 있는데(다니야마 시무라의 추론),페르마의 정리는 그렇지 못하다는 것을 증명하기만 한다면 페르마의 마지막 정리는 해결된다.
다니야마 시무라의 추론을 모듈성 정리라고 하는데,이를 앤드류 와일즈가 1987년 홀로 증명하기로 한다.
<앤드류 와일즈,페르마의 마지막 정리를 증명한 교수로 옥스포드-캠브릿지 대학을 졸업하고 프리스턴 대학교의 교수로 제직중이다.>
6.그럼 앤드류 와일즈가 이를 성공적으로 증명하였나요??
일단 1987년부터 1993년 까지 6년에 걸쳐 와일즈는 아무에게도 알리지 않고 홀로 이 정리를 증명하였다.
왜냐하면 이 정리를 증명하는 것을 누군가에게 들켜서 뺏기는 것을 두려워 했기 때문이다.
그래서 앤드류 와일즈는 6년에 걸쳐 모듈성 정리를 증명하였으며 그 방식으로써 '오일러계의 확장'을 이용하였는데,자신은 이것에 익숙하지 않아서 93년에 프리스턴대학 동료인 닉 카츠에게 자신의 정리의 검증을 맡겼다.
확신이 갈 정도는 아니지만 증명도 어느정도 일단락 되었겠다,천재 동료한테도 검증을 맡았겠다 싶어서,와일즈는 93년 6월 21일부터 23일까지 아이작 뉴턴 수리과학협회에서 자신의 증명을 3일에 걸쳐 발표한다.
6.오 그럼 드디어 페르마의 마지막 정리가 93년에 증명이 된 거군요?
그런데 증명하는 과정에서 사소한 오류가 발견되었는데,이는 자신의 동료인 닉카츠가 발견한 것이었다.
그런데 까보니까 사소한게 아니었고 이것이 계속 옭아매어서 페르마를 괴롭혔다.
자기 제자인 리처드 테일러와 같이 사소한 오류라고 생각했던 것이 1년가까이 괴롭히며 와일즈는 실패의 나날을 보냈다.
증명을 할 때는 순수한 지적 호기심으로 시작한 것이었지만,언론에 까발린채 오류를 검증하는 것은 괴로운일이었기 때문이었다.
와일즈는 그 이후에 폐인처럼 증명하다가 문득 자신이 예전에 버렸던 이론인 수평 이와사 이론접근법과 헤케 대수학의 환론적 속성을 떠올려서 다시 자기제자를 급히 불러서 증명을 완성하였다.
이는 1995년의 일이었다.
가장 간단하게 생겼지만 가장 복잡했던 수학난제가 해결된 순간이엇던 것이다.
1997년 와일즈는 이 업적으로 볼프겐 상을 수상하고 우리돈으로 약 6000만원 정도를 받았다.
상금따위보다 난제를 해결했다는 명예가 더 컷으리라.
(자고로 와일즈는 수학의 노벨상인 필즈상을 받지 못했는데,필즈상의 조건중 하나가 40세 이하의 수학자에 해당하였기 때문에 48살인 와일즈는 자격요건이 되지 않았기 때문이다.)
<프랑스나 뉴욕의 기차역에도 "나 역시 경이로운 방법으로 이 정리를 증명하였으나 기차역에 적기엔 너무 칸이 모자라서 다 옮기지 못하였다 등의 낙서가 발견되었다.페르마가 하니까 이정도 욕을 먹지 너네들이 잡지에다 그랬다가는 쳐맞는거다.>
7.그나저나 페르마는 정말로 자신의 정리를 증명하였을까요?
페르마 이새끼의 말이 뻥카라고 하기에는 너무 업적을 많이 남겼지만 역시 그 당시의 수학도구로써는 페르마의 정리를 증명했다고 보기엔 무리가 있다는게 정설이다.
게다가 이놈은 아마추어라서 자신의 생각이 어느정도 정리가 되었다고 생각되면 바로 다음 문제로 넘어갔으므로,n=4인 것을 증명함으로써 "여튼 나는 짝수일 때는 증명했어ㅎ"라고 생각하며 다음문제로 넘어갔을 가능성이 있다.
유명세로 거짓말을 한 십.(물론 정말 증명했을 수도 있지만)
<와일즈는 페르마의 정리를 100p에 가까운 논문으로 증명하였다.이는 구글이나 여러 검색엔진을 통해 pdf파일로 구할 수 있다.>
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요약-페르마의 마지막 정리는 앤드류 와일즈에 의해서 풀렸지만
과연 수학 7대 난제는 우리가 살아있을 때 모두
해결 될 수 있을까?
이걸 지켜보는 것도 나름 재밋을 것이다.
-자료 : 위키백과,구글 이미지파일 참고
김새론 중앙대 간 이유인거같음